在前一万个正整数构成的集合 $\{1,2,\cdots,10000\}$ 中，被 $3$ 除余 $2$，并且被 $5$ 除余 $3$，被 $7$ 除余 $4$ 的元素个数是 ．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛江西省预赛
【标注】
【答案】
$95$
【解析】
对于每个满足条件的数 $n$，数 $2n$ 应当被 $3$、$5$、$7$ 除皆余 $1$，且为偶数；因此，$2n - 1$ 应当是 $3$、$5$、$7$ 的公倍数，且为奇数；即 $2n - 1$ 是 $105$ 的奇倍数，而当 $n \in \{1,2,\cdots,10000\}$ 时，$2n - 1 \in \{1,2,\cdots,19999\}$，由于在 $\{1,2,\cdots,19999\}$ 中，共有 $190$ 个数是 $105$ 的倍数，其中的奇倍数恰有 $95$ 个．
题目
答案
解析
备注
