设倒数数列 $\left\{\dfrac{1}{a_{n}}\right\}$ 的公差为 $d$，则$$\dfrac{1}{a_{2}} - \dfrac{1}{a_{1}} = \dfrac{1}{a_{3}} - \dfrac{1}{a_{2}} = \cdots =\dfrac{1}{a_{2015}} - \dfrac{1}{a_{2014}} = d,\cdots \cdots \text{ ① }$$其中 $d \ne 0$，即$$\dfrac{a_{1} - a_{2}}{a_{1}a_{2}} = \dfrac{a_{2} - a_{3}}{a_{2}a_{3}} =\cdots = \dfrac{a_{2014} - a_{2015}}{a_{2014}a_{2015}} =d.\cdots \cdots \text{ ② }$$根据分比性质得，$$\dfrac{a_{1} - a_{2015}}{a_{1}a_{2} +a_{2}a_{3} +\cdots +a_{2014}a_{2015}} = d.\cdots \cdots \text{ ③ }$$又由 ① 得，$\dfrac{1}{a_{2015}} - \dfrac{1}{a_{1}} = 2014d$，即$$\dfrac{a_{1} - a_{2015}}{a_{1}a_{2015}} = 2014d.\cdots \cdots \text{ ④ }$$由 ③、④ 得 $\dfrac{a_{1}a_{2} +a_{2}a_{3} +\cdots +a_{2014}a_{2015}}{a_{1}a_{2015}} = 2014.$