由于$$\begin{split}a^2 &= (3x+1) + (3y+1) + (3z+1) + 2\sqrt{ (3x+1) (3y+1) }+2\sqrt{ (3y+1) (3z+1) } + 2\sqrt{ (3x+1) (3z+1) } \\& \leqslant 3((3x+1)(3y+1)(3z+1)) = 18,\end{split}$$则 $a \leqslant \sqrt{18} <5$．又因 $0 \leqslant x,y,z\leqslant 1$，所以 $x \geqslant x^{2}$，$y \geqslant y^2$，$z \geqslant z^2$，于是，\[\begin{split} a& \geqslant \sqrt{x^{2} +2x +1} + \sqrt{y^{2} +2y +1} +\sqrt{z^{2} +2z +1}\\ &=(x+1)+ (y+1)+ (z+1) \\ &=4, \end{split}\]故由 $4 \leqslant a <5$，得 $[a]=4$