设集合 $S=\{1,2,\cdots,15\},A=\{a_1,a_2,a_3\}$ 是 $S$ 的子集，且 $(a_1,a_2,a_3)$ 满足：$$1\leqslant a_1<a_2<a_3\leqslant 15,a_3-a_2\leqslant 6.$$那么满足条件的子集 $A$ 的个数为 ．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
【答案】
$371$
【解析】
当 $2\leqslant {a_2}\leqslant 9$ 时，$(a_1,a_2)$ 有 ${\rm C}_9^2$ 种选择方法，$a_3$ 有 $6$ 种选择方法，所以 $(a_1,a_2,a_3)$ 的选择方法数为\[6\times {\rm C}_9^2=216,\]当 $10\leqslant {a_2}\leqslant 14$ 时，一旦 $a_2$ 取定，$a_1$ 有 $a_2-1$ 种选择方法，$a_3$ 有 $15-a_2$ 种选择方法，所以 $(a_1,a_2,a_3)$ 的选择方法为\[\begin{split}\sum\limits_{a_2=10}^{14}(a_2-1)(15-a_2)=&9\times 5+10\times 4+11\times 3+12\times 2+13\times 1\\=&155.\end{split}\]综上所述，满足条件的子集 $A$ 个数为\[216+155=371.\]
题目
答案
解析
备注
