$O,A,B$ 是平面上不共线三点，向量 $\overrightarrow {OA}=\vec a,\overrightarrow {OB}=\vec b$，设 $P$ 为线段 $AB$ 垂直平分线上任意一点，向量 $\overrightarrow {OP}=\vec p$．若 $|\vec a|=5,|\vec b|=3,$ 则 $\vec p\cdot(\vec a-\vec b)$ 的值是 ．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
【答案】
$8$
【解析】
如图，$QP$ 是线段 $AB$ 的垂直平分线，因为 $\overrightarrow {OP}=\overrightarrow {OQ}+\overrightarrow {QP},\overrightarrow {OQ}=\dfrac 12(\vec a+\vec b),\overrightarrow {QP}\perp \overrightarrow {BA}$，所以\[\begin{split}\vec p\cdot (\vec a-\vec b)&=(\overrightarrow {OQ}+\overrightarrow {QP})\cdot \overrightarrow {BA}\\&=\overrightarrow {OQ}\cdot \overrightarrow {BA}+\overrightarrow {QP}\cdot \overrightarrow {BA}\\&=\dfrac 12(\vec a+\vec b)\cdot (\vec a-\vec b)\\&=\dfrac 12(|\vec a|^2-|\vec b|^2)\\&=8. \end{split}\]
题目
答案
解析
备注
