若两位数 $\overline {ab}$ $(a>0,b>0)$ 满足：$\overline {ab}$ 与 $\overline {ba}$ 有大于 $1$ 的公因数，称 $\overline {ab}$ 为“好数”，则“好数”的个数有 个．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛山西省预赛
【标注】
【答案】
$41$
【解析】
在区间 $[10,99]$ 中，$3$ 的倍数有 $\left[\dfrac {99}3\right]-3=30$（个），除去 $30,60,90$ 三数之外，有 $27$ 个；若 $a,b\in \{2,4,6,8\}$，且 $3\nmid (a+b)$ 时，有 $11$ 个符合条件的两位数；若 $a=b$，且 $2\nmid a,3\nmid a$，只有 $11,55,77$ 三数符合条件．
而在上述讨论的情况之外，因为$$(\overline {ab},\overline {ba})=(\overline {ab},\overline {ab}-\overline {ba})=(\overline {ab},9|a-b|),0\leqslant |a-b|\leqslant 8,$$对于 $|a-b|=5$ 或 $7$，皆不存在新的解，因此共有 $27+11+3=41$（个）“好数”．
而在上述讨论的情况之外，因为$$(\overline {ab},\overline {ba})=(\overline {ab},\overline {ab}-\overline {ba})=(\overline {ab},9|a-b|),0\leqslant |a-b|\leqslant 8,$$对于 $|a-b|=5$ 或 $7$，皆不存在新的解，因此共有 $27+11+3=41$（个）“好数”．
题目
答案
解析
备注
