已知 $\lg {x_1},\lg {x_2},,\lg {x_3},\lg {x_4},\lg {x_5}$ 是连续正整数（从小到大或从大到小），且 $(\lg {x_4})^2<\lg {x_1}\cdot \lg {x_5}$，则 $x_1$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛辽宁省预赛
【标注】
【答案】
$100000$
【解析】
若 $x_1<x_2<x_3<x_4<x_5$，则$$\lg {x_1}<\lg x_2<\lg x_3<\lg x_4<\lg x_5,$$设 $k=\lg x_3$，则由 $(\lg x_4)^2<\lg x_1 \cdot \lg x_5$ 得$$(k+1)^2<(k-2)(k+2),$$解得 $k<-\dfrac 52$，不成立．
若 $x_5<x_4<x_3<x_2<x_1$，设 $k=\lg x_3$，同理解得 $k>\dfrac 52$，所以 $k\geqslant 3$，于是 $\lg x_1=k+2\geqslant 5,x_1\geqslant {100000}$，当 $x_1=100000$ 时，$x_2=10000,x_3=1000,x_4=100,x_5=10$，所以 $x_1$ 的最小值是 $100000$．
若 $x_5<x_4<x_3<x_2<x_1$，设 $k=\lg x_3$，同理解得 $k>\dfrac 52$，所以 $k\geqslant 3$，于是 $\lg x_1=k+2\geqslant 5,x_1\geqslant {100000}$，当 $x_1=100000$ 时，$x_2=10000,x_3=1000,x_4=100,x_5=10$，所以 $x_1$ 的最小值是 $100000$．
题目
答案
解析
备注
