设多项式$$P(x)=x^{15}-2008x^{14}+2008x^{13}-2008x^{12}+2008x^{11}-\cdots +2008x^3-2008x^2+2008x.$$则 $P(2007)=$ ．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛福建省预赛
【标注】
【答案】
$2007$
【解析】
\[\begin{split}P(x)&=(x^{15}-2008x^{14}+2007x^{13})+(x^{13}-2008x^{12}+2007x^{11})+\cdots +(x^3-2008x^2+2007x)+x\\&=x^{13}(x-1)(x-2007)+x^{11}(x-1)(x-2007)+\cdots +x(x-1)(x-2007)+x\\&=(x-1)(x-2007)(x^{13}+x^{11}+\cdots +x)+x. \end{split}\]因此$$P(2007)=2007.$$
题目
答案
解析
备注
