正整数 $n\leqslant 500$，具有如下性质：从集合 $\{1,2,\cdots ,500\}$ 中任取一个元素 $m$，则 $m$ 整除 $n$ 的概率是 $\dfrac 1{100}$，则 $n$ 的最大值是 ．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛福建省预赛
【标注】
【答案】
$81$
【解析】
由题设知，$n$ 恰有 $5$ 个正约数．设 $n$ 的质因数分解是 $n=p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k}$，则 $n$ 的正约数个数为 $(\alpha _1+1)\cdots (\alpha _k+1)$，所以$$(\alpha _1+1)\cdots (\alpha _k+1)=5.$$故 $n$ 具有 $p^4$ 的形式，其中 $p$ 为质数．由于 $3^4=81,5^4=625>500$，故 $n$ 的最大值为 $81$．
题目
答案
解析
备注
