题目 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $S_{105}=2016$，$S_{2016}=105$，则 $S_{2121}$ 的值是<nn> </nn>． 答案 $0$ 解析 根据题意，关于 $n$ 的方程\[S_n+n=2121\]有两个实数根 $n=105$ 和 $n=2016$．考虑到 $f(n)=S_n+n$ 形如 $\alpha\cdot n^2+\beta\cdot n$，因此由 $f(105)=f(2016)$，可得\[f(2121)=f(105+2016)=f(0)=0.\] 备注 一般的，若等差数列的前 $n$ 项和 $S_n$ 满足 $S_p=q$ 且 $S_q=p$，则 $S_{p+q}=0$．