已知两个集合 $A,B$ 满足 $B\subseteq A$．若对任意 $x\in A$，存在 $a_i,a_j\in B \left(i\ne j\right)$，使得\[
x=\lambda_1a_i+\lambda_2a_j \left(\lambda_1,\lambda_2\in\{-1,0,1\}\right),
\]则称 $B$ 为 $A$ 的一个基集．若 $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$，则其基集 $B$ 的元素个数的最小值是 ．
x=\lambda_1a_i+\lambda_2a_j \left(\lambda_1,\lambda_2\in\{-1,0,1\}\right),
\]则称 $B$ 为 $A$ 的一个基集．若 $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$，则其基集 $B$ 的元素个数的最小值是
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$4$
【解析】
设集合 $A$ 的基集 $B$ 中含有 $m$ 个元素．
若 $m=3$，不妨设 $B=\{a,b,c\}$，其中 $a>b>c$，则用$$\lambda_1a_i+\lambda_2a_j \left(\lambda_1,\lambda_2\in\{-1,0,1\}\right)$$的方式最多只能表示出集合 $A$ 中\[
a+b,b+c,c+a,a-b,b-c,a-c,a,b,c
\]这 $9$ 个元素，不合题意．故 $m \geqslant 4$．
取 $B=\{1,4,6,9\}$，满足题意．
综上所述，$m$ 的最小值为 $4$．
若 $m=3$，不妨设 $B=\{a,b,c\}$，其中 $a>b>c$，则用$$\lambda_1a_i+\lambda_2a_j \left(\lambda_1,\lambda_2\in\{-1,0,1\}\right)$$的方式最多只能表示出集合 $A$ 中\[
a+b,b+c,c+a,a-b,b-c,a-c,a,b,c
\]这 $9$ 个元素，不合题意．故 $m \geqslant 4$．
取 $B=\{1,4,6,9\}$，满足题意．
综上所述，$m$ 的最小值为 $4$．
题目
答案
解析
备注
