定义符号函数 ${\rm sgn}x=\begin{cases}1,x\geqslant 0,\\-1,x<0\end{cases}$，令数列 $a_n={\rm sgn}\left(\sin\left(\dfrac{3\pi}{4}+\dfrac{2n\pi}{3}\right)\right)$，$b_1=1$，$b_2=2$，$b_{n+2}=b_{n+1}-b_n(n\geqslant 3)$，则 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{2015}{a_kb_k}=$ ．
【难度】
【出处】
2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
$1$
【解析】
根据题意，有 $a_{n+3}=a_n$，且\[a_n:-1,1,1,-1,1,1,\cdots,\]而\[b_n:1,2,1,-1,-2,-1,1,2,\cdots,\]因此 $b_{n+6}=b_n$．于是 $a_nb_n$ 是一个周期为 $6$ 的数列，且$$a_nb_n:-1,2,1,1,-2,-1,\cdots.$$进而可得\[\sum\limits_{k=1}^{2015}{a_kb_k}=336\sum\limits_{k=1}^{6}{a_kb_k}-a_6b_6=1.\]
题目
答案
解析
备注
