已知 $a$ 是正整数，若集合 $A=\left\{x\mid x\in {\mathbb Z},\dfrac{360}{a-x}\in {\mathbb Z}\right\}$ 的所有元素的和是 $336$，则 $a=$ ．
【难度】
【出处】
2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
$7$
【解析】
因为$$360=2^3\cdot 3^2\cdot 5,$$故 $360$ 共有$$2(1+3)(1+2)(1+1)=48$$个约数，且的所有约数的和为 $0$，故$$\sum\limits_{i=1}^{48}(a-x_i)=0,$$即$$48a-\sum\limits_{i=1}^{48}{x_i}=48a-336=0.$$解得$$a=7.$$
题目
答案
解析
备注
