设 $O$ 为 $\triangle ABC$ 内一点，则 $\overrightarrow {OA}\cdot\overrightarrow {BC}+\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{AB}=$ ．
【难度】
【出处】
2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
$0$
【解析】
记所求代数式为 $m$，利用换底公式即得\[\begin{split}m&=\overrightarrow {OA}\cdot\overrightarrow {BC}+\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{AB}\\
&=\overrightarrow{OA}\cdot \left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\right)+\overrightarrow{OB}\cdot \left(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}\right)+\overrightarrow{OC}\cdot \left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right)\\
&=0.\end{split}\]
&=\overrightarrow{OA}\cdot \left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\right)+\overrightarrow{OB}\cdot \left(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}\right)+\overrightarrow{OC}\cdot \left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right)\\
&=0.\end{split}\]
题目
答案
解析
备注
