若 $\tan \left(\dfrac{\pi}4+\alpha\right)=\dfrac17$，则 $\dfrac{1-\cos 2\alpha}{2\sin^2\alpha+\sin2\alpha}=$ ．
【难度】
【出处】
2008年第十九届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$-3$
【解析】
根据题意有$$\tan\left(\dfrac{\pi}{4}+\alpha\right)=\dfrac{1+\tan\alpha}{1-\tan\alpha}=\dfrac17.$$解得$$\tan\alpha=-\dfrac34.$$于是$$\begin{split} \dfrac{1-\cos 2\alpha}{2\sin^2\alpha+\sin2\alpha}&=\dfrac{2\sin^2\alpha}{2\sin\alpha(\sin\alpha+\cos\alpha)}\\&=\dfrac{\tan \alpha}{\tan\alpha+1}\\&=-3.\end{split}$$
题目
答案
解析
备注
