$(\sqrt x+1)^4(x-1)^5$ 的展开式中，$x^4$ 的系数是 ．
【难度】
【出处】
2017年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
【答案】
$45$
【解析】
根据题意，展开式中的 $x^4$ 项可能为\[\begin{array} {cccc|cc}\hline
\sqrt x&1&x&-1&x^4&\\ \hline
4&0&2&3&-{\rm C}_4^4{\rm C}_5^2&-10\\ \hline
2&2&3&2&{\rm C}_4^2{\rm C}_5^3&60\\ \hline
0&4&4&1&-{\rm C}_4^0{\rm C}_5^4&-5 \\ \hline
\end{array}\]因此所求系数为 $45$．
\sqrt x&1&x&-1&x^4&\\ \hline
4&0&2&3&-{\rm C}_4^4{\rm C}_5^2&-10\\ \hline
2&2&3&2&{\rm C}_4^2{\rm C}_5^3&60\\ \hline
0&4&4&1&-{\rm C}_4^0{\rm C}_5^4&-5 \\ \hline
\end{array}\]因此所求系数为 $45$．
题目
答案
解析
备注
