对于实数 $\alpha$，用 $[\alpha]$ 表示不超过 $\alpha$ 的最大整数，例如 $[3]=3$，$[\sqrt{2}]=1$，$[-\pi]=-4$．设 $x$ 为正实数，若 $[\log_{2}^{x}]$ 为偶数，则称 $x$ 为幸运数．在区间 $(0,1)$ 中随机选取一个数，它是幸运数的概率为 $p$．则 $\frac{1}{p}=$ ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
【答案】
$3$
【解析】
注意当 $x\in(0,1)$ 时，$\log_{2}^{x}<0$；因此 $[\log_2^{x}]$ 为偶数当且仅当 $\log_{2}^{x}\in[-2,-1)\bigcup[-4,-3)\bigcup[-6,-5)\bigcup\cdots$，也即 $x\in[{2}^{-2},{2}^{-1})\bigcup[{2}^{-4},{2}^{-3})\bigcup[{2}^{-6},{2}^{-5})\bigcup\cdots$，这些区间的长度之和为 $\dfrac{1}{{2}^{2}}+\dfrac{1}{{2}^{4}}+\dfrac{1}{{2}^{6}}+\cdots=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{3}$．因此，$x$ 是幸运数的概率为 $\dfrac{1}{3}$．
题目
答案
解析
备注
