设四个球的球心分别为 $A$、$B$、$C$、$D$，则 $AB=BC=CA=12$，$DA=DB=DC=13$，即 $A$、$B$、$C$、$D$ 两两连结可构成正三棱锥．设待求的球心为 $X$，半径为 $r$，则由对称性可知 $DX\bot$ 平面 $ABC$，也就是说，$X$ 在平面 $ABC$ 上的射影是正三角形 $ABC$ 的中心 $O$．易知 $OA=4\sqrt{3}$，$OD=\sqrt{{DA}^{2}-{OA}^{2}}=11$．设 $OX=r$，则 $AX=\sqrt{{OX}^{2}+{OA}^{2}}=\sqrt{{x}^{2}+48}$．由于球 $A$ 内切于球 $X$，所以 $AX=r-6$，即 $\sqrt{{x}^{2}+48}=r-6$．又 $DX=OD-OX=11-x$，且由球 $D$ 内切于球 $X$ 可知 $DX=r-7$，于是 $11-x=r-7$．从上述两式可解得 $x=4$，$r=14$．即大球的半径为 $14$．