若 $\triangle A_{1}A_{2}A_{3}$ 的三边长分别为 $8$、$10$、$12$，三条边得中点分别是 $B$、$C$、$D$，将三个中点两两连结得到三条中位线，此时所得图形是三棱锥 $A-BCD$ 得平面展开图，则此三棱锥得外接球得表面积是 $\frac{a}{b}\pi$，其中 $a,b$ 为互质的正整数，则 $a+b=$ ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛河北省预赛（高二）
【标注】
【答案】
$79$
【解析】
由已知，四面体 $A-BCD$ 的三组对棱的长分别是 $4$、$5$、$6$，构造长方体是其面对角线长分别为 $4$、$5$、$6$，设长方体的长、宽、高分别为 $x$、$y$、$z$，外接球半径为 $R$，则 $\begin{cases}
x^{2}+y^{2}=4^{2}\\
x^{2}+z^{2}=5^{2}\\
y^{2}+z^{2}=6^{2}\\
\end{cases}$ 得 $(2R)^{2}x^{2}+y^{2}+z^{2}=\dfrac{77}{2}$，故 $R^{2}=\dfrac{77}{8}$，所以 $S=\dfrac{77\pi}{2}$．
x^{2}+y^{2}=4^{2}\\
x^{2}+z^{2}=5^{2}\\
y^{2}+z^{2}=6^{2}\\
\end{cases}$ 得 $(2R)^{2}x^{2}+y^{2}+z^{2}=\dfrac{77}{2}$，故 $R^{2}=\dfrac{77}{8}$，所以 $S=\dfrac{77\pi}{2}$．
题目
答案
解析
备注
