若 $x,y\in [-\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{6}]$，$a\in \mathbf R$，且满足 $\begin{cases}
x^{3}+\sin x-3a=0\\
9y^{3}+\dfrac{1}{3}\sin 3y+a=0\\
\end{cases}$ 那么 $ \cos(x+3y)=$ ．
x^{3}+\sin x-3a=0\\
9y^{3}+\dfrac{1}{3}\sin 3y+a=0\\
\end{cases}$ 那么 $ \cos(x+3y)=$
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛河北省预赛（高三）
【标注】
【答案】
$1$
【解析】
把已知条件变形为 $\begin{cases}
x^{3}+\sin x -3a=0\\
(3y)^{3}+\sin 3y +3a=0\\
\end{cases}$ 函数 $f(t)=t^{3}+\sin t$ 在 $[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]$ 上为增函数且时奇函数，另 $x,3y\in [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]$，故 $x=-3y$ 即 $x+3y=0$，所以 $\cos (x+3y)=1$．
x^{3}+\sin x -3a=0\\
(3y)^{3}+\sin 3y +3a=0\\
\end{cases}$ 函数 $f(t)=t^{3}+\sin t$ 在 $[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]$ 上为增函数且时奇函数，另 $x,3y\in [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]$，故 $x=-3y$ 即 $x+3y=0$，所以 $\cos (x+3y)=1$．
题目
答案
解析
备注
