若实数 $x$、$y$、$z$ 满足 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$，$x+2y-2z=4$，$z_{\max}+z_{\min}=-\frac{a}{b}$，其中 $a,b$ 是互质的正整数．则 $a+b=$ ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛河北省预赛（高三）
【标注】
【答案】
$25$
【解析】
由柯西不等式得 $(x^{2}+y^{2})(1+2^2)\geqslant (x+2y)^2$，由已知得 $x^2+y^2=3-z^{2},(x+2y)^2=(4+2z)^2$，所以有 $5(3-z^2)\geqslant (4+2z)^2$，化简得 $9z^2+16z+1\leqslant 0$，即 $z_\max$、$z_\min$ 为方程 $9z^2+16z+1=0$ 的两根，由韦达定理的 $z_\max+z_\min=-\dfrac{16}{9}$
题目
答案
解析
备注
