若正整数 $n$ 使得 $\sqrt{3}$ 恒介于 $1+\dfrac{3}{n}$ 与 $1+\dfrac{3}{n+1}$ 之间，则 $n=$ ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛山西省预赛
【标注】
【答案】
$4$
【解析】
当 $n$ 为正整数时，易知 $\dfrac{3}{n+1}<\dfrac{3}{n}$．由 $\sqrt{3}-1<\dfrac{3}{n}$，得 $n<\dfrac{3}{\sqrt{3}-1}=\dfrac{3+3\sqrt{3}}{2}$．由 $\sqrt{3}-1>\dfrac{3}{n+1}$，得 $n>\dfrac{1+3\sqrt{3}}{2}$．所以 $n\in (\dfrac{1+3\sqrt{3}}{2},\dfrac{3+3\sqrt{3}}{2})$，此区间长度为 $1$，其中只有唯一的整数 $4$，所以 $n=4$．
题目
答案
解析
备注
