设 $a,b$ 均为实数，复数 $z_{1}=\sqrt{3}a-1+(\sqrt{3}-b)i$ 与 $2-\sqrt{3}a+bi$ 的模长相等，且 $z_{1}\overline{z_{2}}$ 为纯虚数，则所有 $a+b$ 的可能值的乘积为 ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛辽宁省预赛
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
由题设知 $|\dfrac{z_{1}}{z_{2}}|=1$，且 $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}=z_{1}\overline{z_{2}}$ 为纯虚数，故 $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}=\pm i$，因此 $\begin{cases}
\sqrt{3}a-1=-b\\
\sqrt{3}-b=2-\sqrt{3}a\\
\end{cases}$ 或 $\begin{cases}\sqrt{3}a-1=-b\\
\sqrt{3}-b=\sqrt{3}a-2\\
\end{cases}$ 解得 $a=b=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$ 或 $a=b=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}$，故 $a+b=\sqrt{3}\pm 1$．
\sqrt{3}a-1=-b\\
\sqrt{3}-b=2-\sqrt{3}a\\
\end{cases}$ 或 $\begin{cases}\sqrt{3}a-1=-b\\
\sqrt{3}-b=\sqrt{3}a-2\\
\end{cases}$ 解得 $a=b=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$ 或 $a=b=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}$，故 $a+b=\sqrt{3}\pm 1$．
题目
答案
解析
备注
