在 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAC=60^{\prime}$，$\angle BAC$ 的平分线 $AD$ 交 $BC$ 于 $D$，且有 $\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}+t\overrightarrow{AB}$．若 $AB=8$，则 $AD^2=$ ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
【答案】
$108$
【解析】
过点 $D$ 作 $DE\parallel AB$ 交 $AC$ 于点 $E$，$DF\parallel AC$ 交 $AB$ 于点 $F$，由题设 $\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}+t\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}$．所以 $\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{EC},\overrightarrow{AF}=t\overrightarrow{AB}$．因此 $\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{1}{3}=\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{BF}{FA}=\dfrac{AB}{AC}$，所以 $AC=24,FA=3BF=\dfrac{3}{4}AB$，因此 $t=\dfrac{3}{4}$．所以 $|\overrightarrow{AD}|^2=|\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}|^2=(\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB})\cdot(\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB})=\dfrac{1}{16}|\overrightarrow{AC}|^2+\dfrac{9}{16}|\overrightarrow{AB}|^2+\dfrac{6}{16}\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=108$．由此得 $AD=6\sqrt{3}$
题目
答案
解析
备注
