设复数 $z$ 满足 $|z-i|=2$，则 $|z-\overline{z}|$ 的最大值为 ．（$i$ 为虚数单位，$\overline{z}为复数$ z $的共轭复数$）
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛福建省预赛
【标注】
【答案】
$6$
【解析】
设 $z=x+yi(x,y\in\mathbf R)$，则 $\overline{z}=x-yi,z-\overline{z}=(x+yi)-(x-yi)=2yi,|z-\overline{z}|=2|y|$．由 $|z-i|=2$，知 $|(x+yi)-i|=2,x^2+(y-1)^2=4$．所以 $(y-1)^2\leqslant 4,-1\leqslant y\leqslant 3$．所以 $|z-\overline{z}|=2|y|\leqslant 6$．当且仅当 $y=3$，即 $z=3i$ 时，等号成立．故 $|z-\overline{z}|$ 的最大值为 $6$．
题目
答案
解析
备注
