先计算矩形的个数，再计算直角三角形的个数．如图所示，根据矩形特点，由这 $16$ 个点可以构成 ${\rm C}_2^4\times{\rm C}_2^4=36$ 个不同的矩形．又每个矩形可以分割成 $4$ 个不同的直角三角形，且不同的矩形，分割所得的直角三角形也不同．因此，可得 $4\times 36=144$ 个直角顶点在矩形顶点的不同的直角三角形．再算直角顶点不在矩形顶点：
（1）在 $1\times 2$ 的矩形中，在直角顶点不在矩形顶点，边长分别为 $(\sqrt{2},\sqrt{2},2)$ 的直角三角形两个．而 $1\times 2$ 矩形横向，纵向各 $6$ 个，故共有 $2\times 12=24$ 个．
（2）在 $2\times 3$ 的矩形中，有直角顶点不在矩形顶点，边长分别为 $(\sqrt{5},\sqrt{5},\sqrt{10})$ 的直角三角形 $4$ 个，边长分别为 $(\sqrt{2},2\sqrt{2},\sqrt{10})$ 的直角三角形 $4$ 个，而 $2\times 3$ 矩形横向，纵向各有两个，故共有 $(4+4)\times 4=32$ 个．
所以，所求的概率 $P=\dfrac{144+24+32}{{\rm C}_{16}^3}=\dfrac{200}{40\times 14}=\dfrac{5}{14}$．