若三个角 $x,y,z$ 成等差数列，公差为 $\dfrac{\pi}{3}$，则 $\tan x\tan y+\tan y\tan z+\tan z\tan x=$ ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛江西省预赛
【标注】
【答案】
$-3$
【解析】
根据 $x=y-\dfrac{pi}{3},z=y+\dfrac{\pi}{3}$，则 $\tan x=\dfrac{\tan y-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}\tan y},\tan z=\dfrac{\tan y+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}\tan y}$．所以 $\tan x\tan y=\frac{{{\tan}^{2}}y-\sqrt{3}\tan y}{1+\sqrt{3}\tan y}$，$\tan y\tan z=\frac{{{\tan}^{2}}y+\sqrt{3}\tan y}{1+-\sqrt{3}\tan y}$，$\tan z\tan x=\frac{{{\tan}^{2}}y-3}{1-3{{\tan }^{2}}y}$
．则 $\tan x\tan y+\tan y\tan z+\tan z\tan x=\dfrac{9\tan^2{y}-3}{1-3\tan^2{y}}=--3$．
．则 $\tan x\tan y+\tan y\tan z+\tan z\tan x=\dfrac{9\tan^2{y}-3}{1-3\tan^2{y}}=--3$．
题目
答案
解析
备注
