设 $x,y,z\in\mathbf R^{\ast}$，满足 $x+y+z=xyz$，则函数 $f(x,y,z)=x^2(yz-1)+y^2(zx-1)+z^2(xy-1)$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛江西省预赛
【标注】
【答案】
$18$
【解析】
根据条件得，$y+z=x(yz-1)$，因此 $yz-1=\dfrac{y+z}{x}$，同理有 $zx-1=\dfrac{z+x}{y},xy-1=\dfrac{x+y}{z}$．又因为 $xyz=x+y+z\geqslant 3\sqrt[3]{xyz}$，得 $xyz\geqslant 3\sqrt{3}$，所以 $f(x,y,z)=2(xy+yz+zx)\geqslant 2\cdot 3\sqrt[3]{(xyz)^2}\geqslant 18$，当 $x=y=z=\sqrt{3}$ 时取等号．
题目
答案
解析
备注
