若 $(2x+4) ^{2n}=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{2n}x^{2n}(n\in\mathbf N^{\ast})$，则 $a_2+a_4+\cdots+a_{2n}$ 被 $3$ 除的余数是 ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛河南省预赛
【标注】
【答案】
$1$
【解析】
令 $x=0$，得 $a_0=4^{2n}$．分别令 $x=1$ 和 $x=-1$，将得到的两式相加，得 $a_0+a_2+a_4+\cdots+a_{2n}=\dfrac{1}{2}(6^{2n}+2^{2n})$．所以 $a_2+a_4+\cdots+a_{2n}=\dfrac{1}{2}(6^{2n}+2^{2n})-4^{2n}=2^{2n-1}(3^{2n}+1)-4^{2n}\equiv(-1)^{2n-1}\times 1-1^{2n}\equiv-2\equiv1(mod3)$．
题目
答案
解析
备注
