设数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=1,4a_{n+1}-a_{n+1}a_n+4a_n=9$，$a_{2018}=\frac{p}{q}$，其中 $p,q$ 是互质的正整数，则 $p+q=$ ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛湖北省预赛
【标注】
【答案】
$8$
【解析】
由 $4a_{n+1}-a_{n+1}a_{n}+4a_{n}=9$ 可得 $(4-a_{n})(4-a_{n+1})=7$．设 $b_{n}=4-a_n$，则有 $b_nb_{n+1}=7$．又 $b_1=4-a_1=3$，故 $b_2=\dfrac{7}{3}$．一般地，有 $b_{2k-1}=3,b_{2k}=\dfrac{7}{3}$，于是 $a_{2k-1}=4-3=1,a_{2k}=4-\dfrac{7}{3}=\dfrac{5}{3}$，所以 $a_{2018}=\dfrac{5}{3}$．
题目
答案
解析
备注
