设 $BC$ 的中点为 $D$，因为 $BG\bot OG$，故 $\triangle BCG$ 是直角三角形，所以 $GD=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$．又因为 $G$ 为 $\triangle ABC$ 的重心，所以 $AD=3GD=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$．由三角形的中线长公式可得 $AD^2=\dfrac{1}{4}(2AB^2+2AC^2-BC^2)$，所以 $AB^2+AC^2=2AD^2+\dfrac{1}{2}BC^2=2\cdot(\dfrac{3\sqrt{2}}{2})^2+\dfrac{1}{2}\cdot(\sqrt{2})^2=10$．所以 $AB+AC\leqslant 2\sqrt{\dfrac{AB^2+AC^2}{2}}=2\sqrt{5}$，当且仅当 $AB=AC$ 时等号成立．
故 $AB+AC$ 的最大值为 $2\sqrt{5}$．