设正实数 $x,y$ 满足 $x^2+y^2+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{27}{4}$，则 $P=\dfrac{15}{x}-\dfrac{3}{4y}$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛湖北省预赛
【标注】
【答案】
$6$
【解析】
由三元均值不等式，可得 $x^2+\dfrac{1}{x}=(x^2+\dfrac{8}{x}+\dfrac{8}{x})-\dfrac{15}{x} \geqslant 3\sqrt[3]{x^2\cdot\dfrac{8}{x}\cdot\dfrac{8}{x}}-\dfrac{15}{x}=12-\dfrac{15}{x}$ ①
$y^2+\dfrac{1}{y}=(y^2+\dfrac{1}{8y}+\dfrac{1}{8y})+\dfrac{3}{4y} \geqslant 3\sqrt[3]{y^2\cdot\dfrac{1}{8y}\cdot\dfrac{1}{8y}}=\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{4y}$ ②
当且仅当 $x=2$ 时，① 中等号成立；当且仅当 $y=\dfrac{1}{2}$ 时，② 中等号成立．① + ②，得 $x^2+y^2+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\geqslant \dfrac{51}{4}+(\dfrac{3}{4y}-\dfrac{15}{x})$．又已知 $x^2+y^2+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{27}{4}$，故 $\dfrac{51}{4}+(\dfrac{3}{4y}-\dfrac{15}{x})\leqslant \dfrac{27}{4}$，整理得 $\dfrac{15}{x}-\dfrac{3}{4y}\geqslant 6$．当且仅当 $x=2,y=\dfrac{1}{2}$ 时等号成立．所以，$P=\dfrac{15}{x}-\dfrac{3}{4y}$ 的最小值为 $6$．
$y^2+\dfrac{1}{y}=(y^2+\dfrac{1}{8y}+\dfrac{1}{8y})+\dfrac{3}{4y} \geqslant 3\sqrt[3]{y^2\cdot\dfrac{1}{8y}\cdot\dfrac{1}{8y}}=\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{4y}$ ②
当且仅当 $x=2$ 时，① 中等号成立；当且仅当 $y=\dfrac{1}{2}$ 时，② 中等号成立．① + ②，得 $x^2+y^2+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\geqslant \dfrac{51}{4}+(\dfrac{3}{4y}-\dfrac{15}{x})$．又已知 $x^2+y^2+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{27}{4}$，故 $\dfrac{51}{4}+(\dfrac{3}{4y}-\dfrac{15}{x})\leqslant \dfrac{27}{4}$，整理得 $\dfrac{15}{x}-\dfrac{3}{4y}\geqslant 6$．当且仅当 $x=2,y=\dfrac{1}{2}$ 时等号成立．所以，$P=\dfrac{15}{x}-\dfrac{3}{4y}$ 的最小值为 $6$．
题目
答案
解析
备注
