$\dfrac{1-2\log_25\cdot\log_{10}3\cdot\log_{15}2}{\log_65\cdot\log_{10}3+\log_{10}3\cdot\log_{15}2+\log_{15}2\cdot\log_65}$ 的值为 ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
【答案】
$1$
【解析】
令 $a=\log_65,b=\log_{10}3,c=\log_{15}2$，则 $a=\dfrac{\ln 5}{\ln 2+\ln 3},b=\dfrac{\ln 3}{\ln 2+\ln 5},c=\dfrac{\ln 2}{\ln 3+\ln 5}$．从而 $\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1}=1$，化简为 $2abc=(ab+bc+ca)=1$．所以，原式 $=\dfrac{1-2abc}{ab+bc+ca}=1$．
题目
答案
解析
备注
