设直线 $y=kx+b$ 与曲线 $y=x^3-x$ 有三个不同的交点 $A,B,C$，且 $|AB|=|BC|=2$，则 $k$ 的值为 ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
【答案】
$1$
【解析】
曲线关于点 $(0,0)$ 对称，且 $|AB|=|BC|=2$，所以直线 $y=kx+b$ 必过原点，从而 $b=0$．设 $A(x,y)$，则 $\begin{cases}
y=kx\\
y=x^3-x\\
\sqrt{x^2+y^2}=2\\
\end{cases}$ 由此得 $x=\sqrt{k+1},y=k\sqrt{k+1}$，代入得 $(k+1)+k^2(k+1)=4$，即 $(k-1)(k^2+2k+3)=0$，解得 $k=1$．
y=kx\\
y=x^3-x\\
\sqrt{x^2+y^2}=2\\
\end{cases}$ 由此得 $x=\sqrt{k+1},y=k\sqrt{k+1}$，代入得 $(k+1)+k^2(k+1)=4$，即 $(k-1)(k^2+2k+3)=0$，解得 $k=1$．
题目
答案
解析
备注
