设 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，且 $A-C=\dfrac{\pi}{2},a,b,c$ 成等差数列，$\cos B$ 的值等于 $\frac{p}{q}$，其中 $p,q$ 是互质的正整数，则 $p+q=$ ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛陕西省预赛（第一试）
【标注】
【答案】
$7$
【解析】
由 $\begin{cases}
A-C=\dfrac{\pi}{2}\\
A+B+C=\pi\\
\end{cases}$ 得 $A+C=\pi-B,A-C=\dfrac{\pi}{2}$．依题意，$2b=a+c$，由正弦定理，得 $2\sin B=\sin A+\sin C$．所以 $2\sin B=2\sin \dfrac{A+C}{2}\cos\dfrac{A-C}{2}$，即 $4\sin \dfrac{B}{2}\cos\dfrac{B}{2}=\sqrt{2}\cos\dfrac{B}{2}$，所以 $\sin\dfrac{B}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$．故 $\cos B=1-2\sin^2\dfrac{B}{2}=\dfrac{3}{4}$．
A-C=\dfrac{\pi}{2}\\
A+B+C=\pi\\
\end{cases}$ 得 $A+C=\pi-B,A-C=\dfrac{\pi}{2}$．依题意，$2b=a+c$，由正弦定理，得 $2\sin B=\sin A+\sin C$．所以 $2\sin B=2\sin \dfrac{A+C}{2}\cos\dfrac{A-C}{2}$，即 $4\sin \dfrac{B}{2}\cos\dfrac{B}{2}=\sqrt{2}\cos\dfrac{B}{2}$，所以 $\sin\dfrac{B}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$．故 $\cos B=1-2\sin^2\dfrac{B}{2}=\dfrac{3}{4}$．
题目
答案
解析
备注
