已知函数 $f(x)=x+\dfrac{4}{x}-1$，若存在 $x_1,x_2,\cdots,x_n\in [\dfrac{1}{4},4]$，使得 $f(x_1)+f(x_2)+\cdots+ f(x_{n-1})=f(x_n)$，则正整数 $n$ 的最大值是 ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛陕西省预赛（第一试）
【标注】
【答案】
$6$
【解析】
由题设得 $(n-1)f(x)_{\min}\leqslant f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_{n-1})=f(x_n)\leqslant f(x)_{max}$ 因为函数 $f(x)$ 在 $[\dfrac{1}{4},2]$ 上单调递减，在 $[2,4]$ 上单调递增，所以 $f(x)_{\min}=f(2)=3,f(x)_{\max}=\max\{f(\dfrac{1}{4}),f(4)\}=f(\dfrac{1}{4})=15+\dfrac{1}{4}$．于是，$3(n-1)\leqslant 15+\dfrac{1}{4}$，即 $n\leqslant 6+\dfrac{1}{12}$．故正整数 $n$ 的最大值为 $6$．
题目
答案
解析
备注
