设 $n$ 是正整数，当 $n>100$ 时，$\sqrt{n^2+3n+1}$ 的小数部分的前两位数是 ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛陕西省预赛（第一试）
【标注】
【答案】
$49$
【解析】
一方面，当 $n>100$ 时，有 $0<n+\dfrac{3}{2}-\sqrt{n^2+3n+1}=\dfrac{(n+\dfrac{3}{2})^2-(n^2+3n+1)}{n+\dfrac{3}{2}+\sqrt{n^2+3n+1}}<\dfrac{\dfrac{5}{4}}{n}<\dfrac{1}{n}<\dfrac{1}{100}=0.01$．所以 $\sqrt{n^2+3n+1}>(n+1)+0.49$．另一方面，$\sqrt{n^2+3n+1}<n+\dfrac{3}{2}=(n+1)+0.5$．故当 $n>100$ 时，$\sqrt{n^2+3n+1}$ 的小数部分的前两位数是 $49$．
题目
答案
解析
备注
