若正实数 $x,y$ 满足 $y>2x$，则 $\dfrac{y^2-2xy+x^2}{xy-2x^2}$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛甘肃省预赛
【标注】
【答案】
$4$
【解析】
$y>2x$ 得 $\dfrac{y}{x}>2$，设 $t=\dfrac{y}{x}(t>2)$，则 $\dfrac{y^2-2xy+x^2}{xy-2x^2}=\dfrac{(\dfrac{y}{x})^2-2\dfrac{y}{x}+1}{\dfrac{y}{x}-2}=\dfrac{t^2-2t+1}{t-2}=(t-2)+\dfrac{1}{t-2}+2\geqslant 2\sqrt{(t-2)\cdot\dfrac{1}{t-2}}+2=4$，当且仅当 $t=3$ 时等号成立，故 $\dfrac{y^2-2xy+x^2}{xy-2x^2}$ 的最小值是 $4$．
题目
答案
解析
备注
