已知空间点 $A,B,C,D$ 满足 $AB\bot AC,AB\bot AD,AC\bot AD$，且 $AB=AC=AD=1$，$Q$ 是三棱锥 $A-BCD$ 的外接球上的一个动点，则点 $Q$ 到平面 $BCD$ 的最大距离是 $\frac{a\sqrt{b}}{c}$，其中 $a,b,c$ 是正整数且 $a,c$ 互质，则 $a+b+c=$ ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛甘肃省预赛
【标注】
【答案】
$8$
【解析】
将三棱锥 $A-BCD$ 补全为正方体，则两者的外接球相同，球心就是正方体的中心，记为 $O$，半径为正方体对角线的一半，即为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$．在正方体里，可求得点 $O$ 到平面 $BCD$ 的距离为 $\dfrac{\sqrt{3}}{6}$，则点 $Q$ 到平面 $BCD$ 的最大距离是 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{6}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$．
题目
答案
解析
备注
