设 $i$ 为虚数单位，$a$ 和 $b$ 为正整数，且 $|(a+i)(2+i)|=|\dfrac{b-i}{2-i}|$，则 $a+b=$ ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛广西壮族自治区预赛
【标注】
【答案】
$8$
【解析】
由题意得 $(2a-1)^2+(a+2)^2=(\dfrac{2b+1}{5})^2+(\dfrac{b-2}{5})^2\Rightarrow (b+5a)(b-5a)=24$．因为 $(b+5a)$ 和 $(b-5a)$ 为奇偶性相同的整数，所以 $\begin{cases}
b+5a=12\\
b-5a=2\\
\end{cases}$ 或 $\begin{cases}b+5a=6\\
b-5a=4\\
\end{cases}$ 解得 $a=1,b=7$，故 $a+b=8$．
b+5a=12\\
b-5a=2\\
\end{cases}$ 或 $\begin{cases}b+5a=6\\
b-5a=4\\
\end{cases}$ 解得 $a=1,b=7$，故 $a+b=8$．
题目
答案
解析
备注
