已知虚数 $z$ 满足 $z^3+1=0$，则 $(\dfrac{z}{z-1})^{2018}+(\dfrac{1}{z-1})^{2018}=$ ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛浙江省预赛
【标注】
【答案】
$-1$
【解析】
$z^3+1=0\Rightarrow (z+1)(z^2-z+1)=0\Rightarrow z^2-z+1=0$，所以 ${{\left( \dfrac{z}{z-1}\right)}^{2018}}+{{\left( \dfrac{1}{z-1} \right)}^{2018}}=\dfrac{{{z}^{2018}}+1}{{{\left({{z}^{2}} \right)}^{2018}}}=\dfrac{{{\left( {{z}^{3}}\right)}^{672}}{{z}^{2}}+1}{{{\left( {{z}^{3}} \right)}^{1345}}z}=\dfrac{{{z}^{2}}+1}{-z}=-1$．
题目
答案
解析
备注
