设 $f(x)=|x+1|+|x|-|x-2|$，则 $f(f(x))+1=0$ 有 个不同的解．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛浙江省预赛
【标注】
【答案】
$3$
【解析】
因为 $f(x)=|x+1|+|x|-|x-2|=\begin{cases}
-x-3,x\leqslant -1\\
x-1,-1<x\leqslant 0\\
3x-1,0<x\leqslant 2\\
x+3,x>2\\
\end{cases}$ 由 $f(f(x))+1=0$ 得到 $f(x)=-2$，或 $f(x)=0$．由 $f(x)=-2$，得到一个解 $x=-1$；由 $f(x)=0$ 得到两个解 $x=-3,x=\dfrac{1}{3}$．所以共有 $3$ 个解．
-x-3,x\leqslant -1\\
x-1,-1<x\leqslant 0\\
3x-1,0<x\leqslant 2\\
x+3,x>2\\
\end{cases}$ 由 $f(f(x))+1=0$ 得到 $f(x)=-2$，或 $f(x)=0$．由 $f(x)=-2$，得到一个解 $x=-1$；由 $f(x)=0$ 得到两个解 $x=-3,x=\dfrac{1}{3}$．所以共有 $3$ 个解．
题目
答案
解析
备注
