若不等式 $\sqrt{x}>ax+\dfrac{3}{2}$ 的解集是 $(4,b)$，则 $\frac{b}{a}=$ ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛湖南省预赛（A卷）
【标注】
【答案】
$288$
【解析】
解法一
设 $\sqrt{x}=t,则$ x= $t^2$，且 $t\in(2,\sqrt{b})$，则不等式 $at^2-t+\dfrac{3}{2}<0$ 的解集为 $(2,\sqrt{b})$，所以 $2,\sqrt{b}$ 是方程 $at^2-t+\dfrac{3}{2}=0$ 的两根，即 $\begin{cases}
2+\sqrt{b}=\dfrac{1}{a}\\
2\cdot\sqrt{b}=\dfrac{3}{2a}\\
\end{cases}$ 解得 $a=\dfrac{1}{8},b=36$．
解法二
设 $y_1=\sqrt{x},y_2=ax+\dfrac{3}{2}$，由不等式 $\sqrt{x}>ax+\dfrac{3}{2}$ 的解集是 $(4,b)$，可得两函数 $y_1=\sqrt{x},y_2=ax+\dfrac{3}{2}$ 在同一坐标系中的图像．
设两函数图像的交点为 $A,B$，则 $A(4,2),B(b,\sqrt{b})$，所以 $2=4a+\dfrac{3}{2},\sqrt{b}=ab+\dfrac{3}{2}$．解得 $a=\dfrac{1}{8},b=36$．
设 $\sqrt{x}=t,则$ x= $t^2$，且 $t\in(2,\sqrt{b})$，则不等式 $at^2-t+\dfrac{3}{2}<0$ 的解集为 $(2,\sqrt{b})$，所以 $2,\sqrt{b}$ 是方程 $at^2-t+\dfrac{3}{2}=0$ 的两根，即 $\begin{cases}
2+\sqrt{b}=\dfrac{1}{a}\\
2\cdot\sqrt{b}=\dfrac{3}{2a}\\
\end{cases}$ 解得 $a=\dfrac{1}{8},b=36$．
解法二
设 $y_1=\sqrt{x},y_2=ax+\dfrac{3}{2}$，由不等式 $\sqrt{x}>ax+\dfrac{3}{2}$ 的解集是 $(4,b)$，可得两函数 $y_1=\sqrt{x},y_2=ax+\dfrac{3}{2}$ 在同一坐标系中的图像．
设两函数图像的交点为 $A,B$，则 $A(4,2),B(b,\sqrt{b})$，所以 $2=4a+\dfrac{3}{2},\sqrt{b}=ab+\dfrac{3}{2}$．解得 $a=\dfrac{1}{8},b=36$．
题目
答案
解析
备注
