四次多项式 $x^4-18x^3+kx^2+200x-1984$ 的四个根中有两个根的积为 $-32$，则实数 $k=$ ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛湖南省预赛（A卷）
【标注】
【答案】
$86$
【解析】
设多项式 $x^4-18x^3+kx^2+200x-1984$ 的四个根为 $x_1,x_2,x_3,x_4$，则由韦达定理，得 $\begin{cases}
x_1+x_2+x_3+x_4=18\\
x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=k\\
x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=-200\\
x_1x_2x_3x_4=-1984\\
\end{cases}$
设 $x_1x_2=-32$，则 $x_3x_4=62$，故 $62(x_1+x_2)-32(x_3+x_4)=-200$．又 $x_1+x_2+x_3+x_4=18$，所以 $\begin{cases}
x_1+x_2=4\\
x_3+x_4=14\\
\end{cases}$ 故 $k=x_1x_2+x_3x_4+(x_1+x_2)(x_3+x_4)=86$．
x_1+x_2+x_3+x_4=18\\
x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=k\\
x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=-200\\
x_1x_2x_3x_4=-1984\\
\end{cases}$
设 $x_1x_2=-32$，则 $x_3x_4=62$，故 $62(x_1+x_2)-32(x_3+x_4)=-200$．又 $x_1+x_2+x_3+x_4=18$，所以 $\begin{cases}
x_1+x_2=4\\
x_3+x_4=14\\
\end{cases}$ 故 $k=x_1x_2+x_3x_4+(x_1+x_2)(x_3+x_4)=86$．
题目
答案
解析
备注
