在 $\triangle ABC$ 中，$AB=5,AC=4$，且 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=12$．设 $P$ 为平面 $ABC$ 上的一点，$\overrightarrow{PA}\cdot(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC})$ 的最小值是 $-\frac{a}{b}$，其中 $a,b$ 是互质的正整数．则 $a+b=$ ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛江苏省预赛（初赛试题）
【标注】
【答案】
$73$
【解析】
由 $AB=5,AC=4$，且 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=12$ 得 $\cos A=\dfrac{3}{5}$．如图，以 $A$ 为坐标原点，$AC$ 为 $x$ 轴建立直角坐标系，则 $C(4,0),B(3,4)$．设 $P(x,y)$，那么 $\overrightarrow{PA}\cdot\left( \overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC} \right)=\left( -x,-y\right)\cdot \left( 7-2x,4-2y \right)=2{{x}^{2}}-7x+2{{y}^{2}}-4y=2{{\left( x-\dfrac{7}{4}\right)}^{2}}+2{{\left( y-1 \right)}^{2}}-\dfrac{65}{8}$．即 $\overrightarrow{PA}\cdot(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC})$ 的最小值是 $-\dfrac{65}{8}$．
题目
答案
解析
备注
