在 $\triangle ABC$ 中，$AB=2AC$，且 $S_{\triangle ABC}=1$，则 $BC^2$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛江苏省预赛（复赛一试）
【标注】
【答案】
$3$
【解析】
设 $AC=b$，由 $S_{\triangle ABC}=1$，得 $b^2\sin A=1$，即 $b^2=\dfrac{1}{\sin A}$．由余弦定理得 $BC^2=5b^2-4b^2\cos A=\dfrac{5-4\cos A}{\sin A}=\dfrac{1+9\tan^2\dfrac{A}{2}}{2\tan\dfrac{A}{2}}\geqslant 3$．所以 $BC\geqslant\sqrt{3}$．当且仅当 $\tan \dfrac{A}{2}=\dfrac{1}{3}$ 时等号成立．
题目
答案
解析
备注
