现有 $4$ 种不同颜色的灯泡，每种颜色表示不同的信号，假设每种颜色的灯泡有足够多，若要在如图所示的某机场信号塔的每个顶点 $P,A,B,C,A_1,B_1,C_1$ 上各安装一个灯泡，要求同一线段两端的灯泡不同色，则不同的安装方法有 种（请用数字作答）．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛内蒙古自治区预赛
【标注】
【答案】
$264$
【解析】
该信号塔每个顶点上安装灯泡且满足同一线段两端的灯泡不同色，等价于仅对下面的三棱柱的六个顶点安装灯泡．
第一种情况：只用三种颜色时，$A_4^3\times 2=48$ 种；
第二种情况：用了四种颜色时，$A_4^3\times {\rm C}_3^1\times (1+2)=216$．
所以有 $216+48=264$ 种．
第一种情况：只用三种颜色时，$A_4^3\times 2=48$ 种；
第二种情况：用了四种颜色时，$A_4^3\times {\rm C}_3^1\times (1+2)=216$．
所以有 $216+48=264$ 种．
题目
答案
解析
备注
