设复数 $z$ 满足 $|z|=1$，使得关于 $x$ 的方程 $zx^2+2\overline{z}x+2=0$ 有实根，这样的复数 $z$ 的和为 $-\frac{a}{b}$．其中 $a,b$ 是互质的正整数，则 $a+b=$ ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛（A卷一试试题）
【标注】
【答案】
$5$
【解析】
设 $z=a+bi(a,b\in\mathbf R,a^2+b^2=1)$．将原方程改为 $(a+bi)x^2+2(a-bi)x+2=0$，分离实部与虚部后等价于 $ax^2+2ax+2=0$，①
$bx^2-2bx=0$．②
若 $b=0$，则 $a^2=1$，但当 $a=1$ 时，① 无实数解，从而 $a=-1$，此时存在实数 $x=-1\pm\sqrt{3}$ 满足 ①，②，故 $z=-1$ 满足条件．若 $b\ne 0$，则由 ② 知 $x\in\{0,2\}$，但显然 $x=0$ 不满足 ①，故只能是 $x=2$，代入 ① 解得 $a=-\dfrac{1}{4}$，进而 $b=\pm\dfrac{\sqrt{15}}{4}$，相应有 $z=\dfrac{-1\pm\sqrt{15}i}{4}$．
综上，满足条件的所有复数 $z$ 之和为 $-1+\dfrac{-1+\sqrt{15}i}{4}+\dfrac{-1-\sqrt{15}i}{4}=-\dfrac{3}{2}$．
$bx^2-2bx=0$．②
若 $b=0$，则 $a^2=1$，但当 $a=1$ 时，① 无实数解，从而 $a=-1$，此时存在实数 $x=-1\pm\sqrt{3}$ 满足 ①，②，故 $z=-1$ 满足条件．若 $b\ne 0$，则由 ② 知 $x\in\{0,2\}$，但显然 $x=0$ 不满足 ①，故只能是 $x=2$，代入 ① 解得 $a=-\dfrac{1}{4}$，进而 $b=\pm\dfrac{\sqrt{15}}{4}$，相应有 $z=\dfrac{-1\pm\sqrt{15}i}{4}$．
综上，满足条件的所有复数 $z$ 之和为 $-1+\dfrac{-1+\sqrt{15}i}{4}+\dfrac{-1-\sqrt{15}i}{4}=-\dfrac{3}{2}$．
题目
答案
解析
备注
