设 $(a+b)^n$ 的展开式中连续三项的二项式系数为$$C_n^{k+1}, C_n^k, C^{k+1}_n (1\leqslant k\leqslant n-1).$$因为 $2C^k_n=C_n^{k-1}+C^{k-1}_n$，所以$$n^2-(4k+1)n+4k^2-2=0.$$得到$$n=\frac{4k+1\pm \sqrt{8k+9}}{2}.$$由 $n$ 为正整数，则 $8k+9$ 应为完全平方数，故设 $8k+9=(2m+1)^2$，即$$2k=m^2+m-2.$$代入 $ ① $ 式得 $n=(m+1)^2-2$ 或 $n=m^2-2$．
所以，三位正整数 $n$ 的最大值为 $959$．