已知首项系数为 $1$ 的五次多项式 $f(x)$ 满足：$f(n)=8n, n=1,2, \ldots ,5$，则 $f(x)$ 的一次项系数为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$282.$
【解析】
令 $g(x)=f(x)-8x$，则 $g(x)$ 也是一个首项系数为 $1$ 的五次多项式，且$$g(n)=f(n)-8n=0,n=1,2,\ldots ,5.$$故 $g(x)$ 有 $5$ 个实数根 $1,2,\ldots ,5$，所以 $g(x)=(x-1)(x-2)\ldots (x-5)$，于是$$f(x)=(x-1)(x-2)\ldots (x-5)+8x,$$所以 $f(x)$ 的一次项系数等于 $(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5})\cdot 5!+8=282$．
题目
答案
解析
备注
